UN MODÈLE DE DISTORSION DES SURFACES SEUIL POUR LA SIMULATION EN MISE EN FORME DES TÔLES MINCES

Mazen M. JAMAL

Dans ce travail nous avons présenté un modèle de distorsion des surfaces seuil. La distorsion des surfaces seuil tient un rôle important dans la modélisation du comportement élasto-plastique des matériaux métalliques. Le modèle présenté est formulé en vitesse dans le référentiel  corotationnel, et de ce fait les dérivées utilisées sont les dérivées usuelles. L’évolution de la surface est exprimée selon un processus d’intégration de la loi en vitesse qui décrit la cinématique d’un point quelconque de la surface durant le chargement.

Partant d’une surface initiale de von Mises qui peut être représentée par une sphère dans l’espace (S₁,S₂ ,S₃ ). Nous avons représenté la surface à l’aide d’un petit nombre de carreaux de Coons, qu’on définit à partir d’un nombre fini de points appartenant à la surface seuil (au moins 6 points). Le modèle a été appliqué à ces points de définition ainsi qu’à un nombre fini de points intermédiaires de sorte qu’après évolution nous déterminons la nouvelle surface par une minimisation au sens des moindres carrés. Grâce aux caractéristiques des splines cubiques la minimisation est réduite à la résolution d’un système linéaire tri-diagonal. Le modèle a été intégré selon un schéma implicite, schéma qui se caractérise par sa stabilité.

L’approche utilisée pour modéliser l’évolution de la surface consiste à déterminer l’écrouissage d’un point quelconque de celle-ci à travers une interpolation utilisant l’écrouissage de trois points particuliers. Pour sa représentation nous avons utilisé une technique de CAO, appelée carreaux de Coons.

L’identification du modèle pour des tôles minces a nécessité des essais séquentiels de cisaillement-cisaillement inverse-traction plane. Cela nous a amené à construire une éprouvette en croix assemblée par collage et un montage d’essai original de façon à soumettre deux zones utiles a des chargement de cisaillement et de traction plane. Nous avons exploré l’évolution de la courbe d’écrouissage en cisaillement simple de la tôle jusqu’à une déformation plastique cumulée de l’ordre de 10%. L’écrouissage a été interrompu afin d’explorer l’évolution de l’effet Bauschinger et l’évolution de l’écrouissage latent induit par le cisaillement plastique. L’exploration de la plasticité a été fait avec un offset de 2.10^-5  . Par effectuer des mesures avec une précision inférieure à la valeur de l’offset choisi, il nous a fallu utiliser des jauges de déformation collées au centre de l’éprouvette. Pour que ceci soit possible, la conception de l’éprouvette a répondu à deux contraintes opposées: la résistance au flambement qui nécessitait la réduction des dimensions des zones utiles, et l’existence au centre de ces zones utiles d’un domaine de déformation uniforme suffisant pour coller les jauges. Des simulations numériques par éléments finis à l’aide du code ABAQUS ont permis de trouver un bon compromis entre ces deux exigences. Il s’est avéré que l’utilisation d’une zone utile à bords libres circulaires assurait une plus grande homogénéité de déformation pour l’essai de traction plane et permettait aussi de minimiser la différence entre la contrainte calculée (par division de l’effort appliqué sur la section de l’éprouvette) et la contrainte locale au centre de l’éprouvette, là ou les déformations sont mesurées.

Le calcul des contraintes et des déformations a été effectué sous des hypothèses de grandes transformations et cela dans  le référentiel corotationnel. L’amplitude de prédéformation a été limitée par les caractéristiques des rosettes de jauge et de la colle (performantes jusqu’à des déformations de 10%). Il est possible de tenter de recoller de nouvelles jauges durant l’essai ce qui permettrait d’atteindre des déformations supérieures.

D’autre part l’identification a été effectuée avec un rechargement dans les axes de symétrie de l’éprouvette (cisaillement dans la direction transverse et  traction dans la direction de laminage), pour le cas de cisaillement hors axes il faudrait prendre soin de découper la plaque de tôle de manière à symétriser l’éprouvette afin que l’effort appliqué soit distribué identiquement sur les deux zones utiles et il faudra voir ce que cela implique au niveau de la résistance du collage qui assure l’assemblage de l’éprouvette.

Il est certain qu’un des problèmes à résoudre est celui de la convexité de la surface seuil. En effet dans sa forme actuelle le modèle ne garantit pas la convexité de celle-ci durant l’évolution. Pour remédier à cela une solution serait de convexifier numériquement la surface. Une autre solution serait de trouver une relation entre des courbes de vitesse d’écrouissage d (p), i(p) et 1(p) et les fonctions de distorsion h_d, h_i et h₁, de sorte que la convexité de la surface définie point par point demeure satisfaite.

Dans ce travail on a identifié le modèle pour des tôles minces. Il reste à le valider en faisant des comparaisons avec des surfaces déterminées expérimentalement.

Pour achever le travail numérique, il reste à implanter le modèle dans un code d’éléments finis tel qu’ABAQUS, ce qui est facilité par le choix de l’écriture dans le référentiel corotationnel (Gilormini et Roudier 1992), afin de le tester dans des conditions d’utilisation usuelles. Il est certain que le problème de stockage numérique ainsi que le coût  des calculs doivent être traites attentivement, car ils déterminent la performance pratique de modèle.