PROPRIETES SPECTRALES DE L’OPERATEUR DE DIRAC

Oussama M. HIJAZI

Cette étude comprend cinq chapitres comme suit :

Chapitre I :  Synthèse Des Travaux

La formule de Lichnerowicz, la covariance conforme de l'opérateur de Dirac, et la modification de la connexion de Levi Civita par multiplication de Clifford constituent les principaux ingrédients de mes travaux.

Dans ce chapitre, on précisera les notations et on montrera comment ces ingrédients interviennent dans 1'étude du spectre de l'opérateur de Dirac sur des variétés riemanniennes, kählériennes, et kähler quaternioniennes à courbure scalaire positive. Dans le dernier paragraphe, on montrera un nouveau type d'estimation des valeurs propres sur les variétés riemanniennes qui généralise les précédentes et qui en plus, donne une information dans le cas où la courbure scalaire est non positive.

Chapitre 2:  Opérateurs du Dirac sur les variétés Riemanniennes à Courbure  Scolaire Positive Spineurs harmoniques, spineurs-twisteurs et géométrie conforme Opérateurs du second ordre associés aux spineurs-twisteurs et aux spineurs harmoniques  par la géométrie conforme. Application aux inégalités du type de Hijazi et à leurs cas limites. Symétrie des rôles de l’opérateur De Dirac et de l’opérateur twistoriel D. Caractérisation nouvelle des spineurs de Killing. Première valeur propre de l’opérateur de Dirac et nombre de Yamade

Les résultats de deux approches du problème de minoration de la première valeur propre de l’opérateur de Dirac sont comparés. La première est celle des injections de Sobolev pour des opérateurs pseudo-différentiels bornés, la seconde est celle de la formule de Lichnerowicz associée à une famille de connexions modifiées. Une minoration de la première valeur propre de l’opérateur de Dirac est données par le nombre de Yamabe. Le cas limite est ensuite éudié .

Chapitre 3:  Opérateurs du Dirac sur les variétés Kähleriennes Eigenvalues of the Dirac Operator on Compact Kähler Manifolds

In 1980 T. Friedrich [Fr 1] proved with the help of the Lichnerowicz formula [Li 1] that, on a compact Riemannian spin manifold (Mn, g), any eigenvalue λ of the Dirac operator satisfies ( *  )    λ2  > n inf S,  4(n1) M where S is the scalar curvature of (Mn, g). In 1984 the author [Hi 11 improved (*) by replacing inf MS by a conformal invariant and showed that equality in (*) implies that the manifold is non Kähler (see also [Hi 2] and [Li 2]). K.D. Kirchberg investigated then the Kähler case, and showed (see [Ki 1], [Ki 3]) that any eigen value  of the Dirac operator on a compact Kähler spin manifold (Mn, g), with n = 2m, satisfies

 ( ** 1)λ 2 > m+1 inf S,if m is odd 4 m and ( ** 2)λ 2 > m   inf S,if m is even 4(m 1) M

Chapitre 4: Opérateurs du Dirac sur les variétés Kähler Quaternioniennes Spineurs et Valeurs Propres de L’opérateur de Dirac sur les variétés Kähler quaternioniennes

Sur toute variété riemannienne compacte (Mn, g) munie d'une structure spin, la première valeur propre de l'opérateur de Dirac vérifie ( * ) 2 > n inf S,  4(n 1) M Où S est la courbure scalaire. Cette estimation, établie en 1980 par T. Friedrich [Fr], a été méliorée par O. Hijazi dans [Hi 2), où il a été aussi établi que le cas d'égalité ne pouvait étre atteint pour des variétés Kählériennes. En fait, ceci est la conséquence d'un résultat plus général ([Hi 2], [Li 2]), selon lequel le cas d‘égalité ne peut être atteint quand la variété possède une forme parallèle non triviale. Pour ces variétés, le problème d'une meilleure estimation est donc posé. Il a été resolu dans le cas Kählérien  ([Ki l , [Ki 3, voir aussi [Li 4], [Li 5], et [Hi 3]). En dimension complexe impaire, on obtient pour estimation la première valeur propre de 1'espace projectif complexe. L'espace projectif quaternionien étant une variété riemannienne compacte munie d'une structure spin, et l’exemple "standard" des variétés dites Kähler quaternioniennes (cf. [Bes], (Is], (Kra]), la question de savoir s'il apparait  comme cas limite dans le contexte défini plus haut se pose naturellement. Ces variétés d'Einstein possèdent une 4 forme parallèle; elles ne peuvent donc, vérifier le cas d’égalité dans (*), dans le cas où elles sont compactes et munies d'une structure spin.

Chapitre 5:  Opérateurs du Dirac sur les variétés Riemanniennes  Lower Bounds for Eigenvalues of the Dirac Operator through Modified  Connections T. Friedrich [Fr 1] proved with the help of the Lichnerowicz formula [Li 1) that, on a compact Riemannian spin manifold (M', g), any eigenvalue  of the Dirac operator satisfies ( * )λ 2 >n inf S, 4(n 1) M where S is the scalar curvature of (M', g). In 1984 the author [Hi 1) improved by showing that (**) »2 > n  ¼1,  4(n1) M where S is the scalar curvature of (M', g). In 1984 the author [Hi 1) improved by showing that (**)λ 2 > n μ 1,  4(n 1)where ¼ is the first eigenvallue of the conformal Laplacian. Inequalities (*) and (**) contain information only in the case where the scalar curvature is positive. In the present praper, we prove that inequalities (*) and (**) could be improved by giving lower bounds for the genvalues of the Dirac operator even when the scalar curvature is non positive.