ÉTUDE MATHEMATIQUE ET NUMERIQUE DE QUELQUES PROBLEMES DE DIFFRACTION D’ONDES ELECTROMAGNETIQUES

Toufic S. ABBOUD

Le travail de la thèse concerne l’étude mathématique et numérique de quelques problèmes liés à la diffraction d’ondes électromagnétiques.

Dans une première partie, on s’intéressera au cas d’un obstacle borné dans IR³, la deuxième partie étant consacrée à la diffraction par un réseau : obstacle ”infini” bi-périodique.

Le problème consiste donc à résoudre les équations de Maxwell en régime harmonique dans un domaine extérieur. Une approche classique est la méthode d’absorption limite. On a adopté une autre méthode : le couplage. Cela consiste à tronquer le domaine par une surface sur laquelle une formule de représentation intégrale permet de prendre en compte l’extérieur du domaine. Pour un obstacle borné, on utilise une sphère car à l’aide des harmoniques sphériques et des fonctions de Hankel sphériques, on peut expliciter l’opérateur de bord, qu’on intitule opérateur de Dirichlet-Neumann. Le premier chapitre est consacré à quelques rappels sur ces fonctions spéciales et à quelques nouvelles propriétés qui serviront au chapitre 2 à démontrer la positivité de l’opérateur de Dirichlet-Neumann. On notera au passage quelques applications des harmoniques sphériques : calculs de solutions explicites des équations de Laplace, Helmholtz, Maxwell…, caractérisation des espaces de Sobolev de la sphère, démonstration directe des théorèmes de trace et de relèvement…

Le deuxième chapitre, écrit en collaboration avec J.C. Nédélec, traite de la diffraction par un obstacle régulier inhomogène borné. On introduit l’opérateur de Dirichlet-Neumann, et on donne deux formulations variationnelles du problèmes : La première à deux inconnues, champs électrique et magnétique,  la deuxième en champ électrique seulement. Les deux formulations sont dans un cadre H¹, ce qui suppose la régularité de la frontière et des coefficient. La formulation “naturelle” dans H (rot) n’a pas été retenue car l’injection H (rot)®L² n’est pas compacte et l’on sort du cadre de l’alternative de Fredholm. La difficulté technique de cette approche est de prendre en compte les conditions aux limites et les conditions de transmission qui sont adaptées à une formulation dans H (rot) et non dans H¹…

Le troisième chapitre, écrit en collaboration avec F. Starling, traite un cas particulier d’obstacle singulier conducteur parfait : l’écran. On démontre que l’équation intégrale du champ électrique s’écrit comme une  perturbation compacte d’un problème de point selle, ce qui permet en particulier d’en faire l’analyse numérique comme dans le cas d’un obstacle régulier. La compacité est obtenue grâce à un théorème de régularité du potentiel de simple couche. Ce résultat, qui dans le cas d’un demi-plan repose sur une factorisation de Wiener-Hopf, s’appuie fondamentalement sur des résultats dus à Eskin.

Dans le quatrième chapitre on considère le cas d’un conducteur parfait lipschitzien. On démontre l’existence la solution dans H (rot). Le résultat est obtenu en approchant le domaine extérieur par une suite croissante de domaines réguliers pour lesquels on sait démontrer l’existence de la solution dans H¹ On démontre alors que cette suite de solutions, prolongées à tout le domaine singulier, converge fortement dans H (rot) de tout borné vers la solution du problème de diffraction par l’obstacle singulier.

Le chapitre 5 est consacré à une étude théorique sur les réseaux. On démontre l’existence d’une solution “quasi-périodique” grâce à l’alternative de Fredholm, même dans un cas de non-unicité, car le second membre (onde incidente plane) est orthogonal au noyau éventuel. La démarche est formellement la même que dans le chapitre 2 : troncature du domaine, opérateur de D.-N., formulation H1…

Dans le chapitre 6, on fait l’analyse numérique du problème de diffraction par un réseau. On commence par le cas scalaire (acoustique). On suppose qu’il y a unicité de la solution. On fait successivement deux approximations : on approche l’opérateur de D.-N., qui s’exprime facilement grâce aux séries de Fourrier, en tronquant la série. Ensuite, on applique la méthode de Galerkin. On démontre qu’à partir d’un certain ordre le problème discret est inversible et que la suite des solutions converge vers la solution du problème continu, et on donne une estimation de l’erreur. On fait la même étude pour une onde électromagnétique, dans le cas où le réseau est entouré d’une couche de diélectrique absorbant. On démontre dans ce cas que les formes sesquilinéaires sont uniformément coercives, ce qui rend l’analyse numérique triviale. Enfin, quelques résultats numériques concernant le cas électromagnétique, utilisant les éléments finis H (rot) introduits par J.C. Nédélec, sont présentés. La validation de la méthode est faite sur quelques cas simples : le vide, un plan infini conducteur éventuellement recouvert d’une couche de diélectrique. Ces structures sont considérées comme périodiques