PROPAGATION D'ONDES DANS UN CANAL PLAN EN PRESENCE D'ECOULEMENT

Mohamad A. RIFI

La propagation des ondes acoustiques dans un conduit avec écoulement est un problème complexe en raison des effets de diffraction dues au cisaillement de vitesse moyenne du milieu. La propagation de celles-ci dans les conduits s'effectuent par des modes de propagation.

Dans ce mémoire, on considère le problème plan bidimensionnel dans un canal plan d’épaisseur 2e et on étudie le cas des ondes harmoniques pour le mode fondamental et les premiers modes transverses de propagation.

Dans le premier chapitre, on expose tout d'abord quelques rappels sur la propagation des ondes acoustiques dans un écoulement, sur l’écoulement de base et sur les équations générales de l’acoustique linéaire en conduit . La propagation du mode fondamental en présence d'un écoulement établi sera étudiée au moyen de l’équation de la pression dans deux cas ou il n’y a pas dispersion. L'utilisation des solutions sinusoidales permet d'obtenir l’équation généralisée des ondes harmoniques pour un conduit a section droite. Ensuite, on étudie le cas de la propagation des ondes acoustiques en l’absence d'écoulement et on montre que la résolution de l’équation des ondes harmoniques se raméne à un problème de valeur propres et de fonctions propres.

La résolution de l’équation des ondes harmoniques au moyen d'une méthode de perturbation où le paramètre est le nombre de Mach, défini avec la vitesse de débit, supposé petit, montre que le terme d'ordre de la répartition de pression est la solution d'un problème de NEUMANN sur la section droite du conduit , dont la condition de compatibilité permet de calculer le terme correspondant de la vitesse de propagation sans résoudre explicitement l’équation concernée. A l’aide des méthodes de résolution analytiques, nous calculons les vitesses de propagation et les répartitions de pression en déterminant les termes dordre 0 et 1 du développement pour un écoulement laminaire et turbulent. Ces aspects font l'objet du deuxieme chapitre.

Le troisième chapitre est consacré à la résolution de la même équation (équation des ondes harmoniques) par une voie numérique basée sur la méthode de Galerkin où le nombre de Mach est quelconque . On étudie les variations de la vitesse de phase en fonction de la vitesse de l’écoulement et de la longueur d'onde L pour divers profils de vitesses moyennes (écoulement laminaire et turbulent ) . On calcule également la repartition de pression acoustique à travers le conduit dans les mêmes conditions. Les résultats numériques sont donnés dans la gamme du nombre de Mach inferieur à 0,6 et pour certaines valeurs du rapport L/e.

Enfin dans le quatrième chapitre, nous donnons une approche variationnelle de la résolution de l’équation des ondes harmoniques en utilisant le principe variationnel adjoint . Nous cherchons l’équation adjointe des ondes harmoniques et l’expression de l’intégrale variationnelle. Par minimisation  de  celle-ci,  nous  aboutissons  aux  équations    trouvées  par  la  méthode  de  Galerkin (chapitre 3 )