LOCALISATION RELATIVISTE, MECANIQUE QUANTIQUE RELATIVISTE A DEUX FERMIONS, GEOMETRIE NON-COMMUTATIVE ET THEORIES DE KALUZA-KLEIN

Jihad A.I. MOURAD

La thèse comporte trois parties:        

La première partie est consacrée aux problèmes de la localisation relativiste. En mécanique quantique relativiste, les observables décrivant la position de la particule ne sont pas déterminées a priori. Ce sont plutôt les générateurs du groupe de Poincaré que le sont. Dans cette partie de la thèse, les opérateurs position sont définis comme solutions à certaines propriétés de transformations sous les opérations géométriques (translation, rotation, parité, renversement du temps, transformations de Lorentz). Trois sujets sont traités en détail. Le premier est les propriétés de covariance relativiste des opérateurs position. Le deuxiéme est la définition de l’opérateur position pour le photon; en particulier nous montrerons son unicité et la possibilité de donner un sens à la localisation du photon même si les composantes de l’opérateur position ne commuttent pas entre elles. Enfin, le troisième sujet est l’étude de la limite semi-classique dans le formalisme de Wigner-Weyl où l’opérateur position joue un rôle particulier.

Dans la deuxième partie de la thèse, les équations relativistes décrivant deux fermions en interaction directe son étudiées. La théorie des contraintes permet de trouver un système de deux équations pour décrire deux fermions en interaction par l’intermédiaire d’un potentiel. Le potentiel peut être déduit perturbativement de la théorie des champs. Dans cette partie, les équations sont réduites à une forme de Pauli-Schrödinger pour une classe de potentiels assez générale. Elles sont aussi transformées à une forme manifestement covariate de l’équation de Breit. La réduction est une première étape pour l’étude et la résolution des équations. Les équations sont utilisées pour l’étude des systèmes quark-antiquark et la comparaison avec le Hamitlonien semi-classique prédit par QCD. Les propriétés de confinement des différents potentiels sont étudiées.

La troisième partie de la thèse est consacrée à la formulation des théories de Kaluza-Klein par l’intermédiare de la géométrie non-commutative. Les théories de Kaluza-Klein permettent de décrire toutes les interactions dans un cadre géométrique unique. Une action gravitationnelle, formulée sur un espace-temps de dimension supérieure à quatre, se réduit, si les dimensions supplémentaires ne sont pas observables, à une action d’Einstein et une action de Yang-Mills à quatre dimension. D’un autre côté, la géométrie non-commutative permet de construire des objets géométrique à partir d’une algèbre non-commutative. En particulier, une action d’Einstein peut être formulée sur une algèbre non-commutative. Dans cette partie de la thèse, une telle formulation est effectuée avec une algèbre qui est le produit tensoriel de l’algèbre des fonctions dur l’espace-temps quadri-dimensionnel et une algèbre non-commutative de matrices. L’action résultante est analogue à celle obtenue par la formulation habituelle de Kaluza-Kein dans l’approximation où tous les modes massifs sont négligés. L’espace-temps est élargi par des dimensions discrètes ou bien algèbriques.