ONDE DE CHOC DANS LES PIEZOELECTRIQUES ELASTIQUES

Wafa A. ANI

Nous envisageons ici l’étude des mouvements d’onde non linéaires en une dimension dans un milieu élastique non magnétisable mais électriquement polarisable. Un matériau anisotrope élastique est caractérisé par une fonction d’énergie potentielle spécifique (interne) qui dépend seulement de la déformation et de l’entropie. La température et les composantes de la contrainte sont obtenues par dérivation de l’équation d’énergie et fournissent les “équations d’états” pour ce milieu.

Pour un mouvement d’onde unidimensionnel en milieu électroélastique les variables sont, le champ électrique, u le vecteur du déplacement et f le vecteur de déformation etc… qui dépendent seulement des variables d’espace x et de temps t.

Notre discussion est basée sur l’observation que les équations du champ dans le milieu électroélastique peuvent être exprimées sous forme d’un système de lois de conservations et que pour une large classe d’énergies potentielles élastiques ce système est hyperbolique.

Ces propriétés impliquent d’avance, en raison de la théorie générale de tels systèmes, que les équations de l’électroélasticité possèdent une théorie des chocs et des ondes simples analogues à celles de la dynamique de gaz, de la magnétohydrodynamique et de la magnétoélasticité .

Un choc dans cette théorie est une solution discontinue de ce système (tel que la déformation f et non le déplacement u peuvent être discontinus ) qui vérifie une version généralisées des conditions de saut de Rankine-Hugoniot.

Une onde simple est une solution U (continûment dérivable) des équations de base qui est constante le long de courbes d’une famille à un seul paramètre du plan x, t ;  U varie continûment d’une courbe à l’autre qui, par ailleurs, coïncident avec les caractéristiques. Avec les chocs et les états constants, les ondes simples forment les éléments de base dans la construction de mouvements d’ondes non linéaires par des conditions initiales et aux limites suffisamment simples. L’importance des ondes simples provient du fait que la région d’état non constant adjacent à une région d’état constant est nécessairement une région d’onde simple.

Le but de cette étude est de décrire les chocs et les ondes simples qui apparaissent dans le milieu électroélastique et d’illustrer comment ces résultats peuvent être utilisées pour résoudre, dans un cas simple, le problème non linéaire du piston et le problème qui est relié à la résolution d’une vitesse initiale discontinue.

En préparation pour la théorie non linéaire, nous présentons dans le chapitre 1, la forme rationnelle de la théorie du couplage électromagnétomécanique et les opérations de convection entre une configuration de référence et la configuration actuelle déformée, ainsi que les relations de saut correspondantes, toujours dans la configuration de référence, qui nous permettent d’établir l’équation fondamentale d’Hugoniot qui est l’équation de base pour l’étude du comportement des ondes de choc dans la configuration lagrangienne et en quasi-électrostatique.

Dans le deuxième chapitre, nous avons rappelé les lois générales du mouvement et les relations de saut de l’électroélasticité non linéaire des diélectriques anisotropes, pour caractériser et classifier les ondes électroélastiques dans le modèle unidimensionnel. En particulier, les vitesses caractéristiques sont obtenues, le comportement thermodynamique des chocs faibles en  électroélastique est établi et la classification des chocs électroélastiques est donnée quand le matériau admet une énergie quadratique (cas néo-Hokéen). Des chocs "créateurs" et  "destructeurs"  peuvent être mis en évidence dans cette classification.

Le dernier chapitre concerne les mouvements par ondes simples en milieux électroélastiques et pour le cas unidimensionnel.

Enfin, ce travail se termine par une application au problème du piston électroélastique. Le cas complètement tridimensionnel doit faire appel à un traitement numérique en raison du grand nombre de variables intervenant dans un cristal anisotrope électroélastique.